02——解析式的概念与运算

2025/06/24 高等数学
02——解析式的概念与运算

一、解析式概念

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下面详细来讲

  1. 单项式: 数与字母的积组成的代数式,其中数叫系数,所有字母的指数和叫次数,
    • 如2a,3b²,-ab,0,则2a中,2是系数,2a叫一次单项式;3b²中,3是系数,3b²叫二次单项式;-ab 中,-1是系数,-ab叫二次单项式;0 中,0 是系数,0 叫零次单项式.
  2. 多项式: 单项式的和叫多项式,所有单项式中的最高次数,叫多项式的次数.
    • 如2a+3b²-ab,其中 2a,3b²,-ab 叫多项式的项,2a+3b²-ab是二次多项式,再如,abc²+1是四次多项式.
  3. 整式: 单项式与多项式统称整式。

  4. 分式: 设A,B为整式,B中有字母,则叫$\frac{A}{B}$分式。若求分式的定义域,要记得考虑B≠0.如: $ \frac{2x²+1}{3x²+4x-5} $ , $ \frac{x^4+1}{x+1} $ , $ \frac{xy-z}{x^2y^2+z} $
    • 当A的次数小于B的次数时,称为真分式;否则称为假分式,如 $ \frac{2x^2+1}{3x^3+4x-5} $ , $ \frac{xy-z}{x^2y^2+z} $ 是真分式, $ \frac{x^4+1}{x+1} $ 是假分式.
  5. 有理式: 分式和整式统称有理式
  6. 无理式: 含有字母的根式运算的代数式.如 $ \sqrt{2x} $ 是无理式, $ \sqrt{2}x $是有理式.
  7. 代数式: 有理式和无理式统称代数式,即由数字与字母作有限次加、减、乘、除、开方、乘方等代数运算得到的式子.
  8. 超越式: 含有字母的指数为无理数的指数运算、对数运算、三角运算和反三角运算的解析式,以上运算也称为初等超越运算,以区分于加、减、乘、除、开方、乘方这些初等代数运算,如 $ ln(x^2+y^2) $ , $ arctanx $ , $ a^{\sqrt{2}} $ 等均为超越式.
  9. 解析式: 代数式与超越式统称解析式,

二、有理式的运算

系数竖式计算法

例题1

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pVe9tLq.png

例题2

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例题3

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分式运算

pVemErD.png 其中,B不能是0,也不能是常数

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三、无理式的运算

pVelVqf.png 无理式: 字母带根号

性质

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重要结论

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有理化

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三、练题

例8,例9c,例10,例11,例12,例13

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